복소수는 회전이다
"허수"라는 이름은 수학사에서 가장 손해를 많이 끼친 작명일지도 모릅니다. \(i\)는 상상 속의 수가 아니라 평면을 90° 돌리는 연산이고, 복소수 곱셈은 회전과 확대를 한 번에 하는 계산입니다. 이 관점 하나로 교류 회로의 미분방정식이 사칙연산이 되고, 렌즈 코팅의 간섭이 화살표 더하기가 되며, 스마트폰은 복소수를 전파에 실어 보냅니다.
- 복소수 곱셈을 "크기는 곱하고 각도는 더하는" 회전+확대로 읽고, \(i^2=-1\)을 180° 회전으로 설명할 수 있다.
- 오일러 공식 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)를 원 위를 도는 점으로 이해하고, 사인파를 회전하는 페이저의 그림자로 본다.
- 미분 \(d/dt\)가 \(j\omega\) 곱셈이 되는 이유를 알고, R·L·C의 임피던스로 RLC 회로의 위상·공진·역률을 계산한다.
- 유효·무효·피상 전력(P, Q, S)의 관계와 전력회사가 역률을 관리하는 이유를 설명한다.
- 박막 반사파를 페이저 합으로 그려 1/4파장 반사 방지 코팅 조건 \(n_c=\sqrt{n_s}\), \(d=\lambda/4n_c\)를 유도한다.
- 2차 특성방정식의 복소수 근이 감쇠 진동을 뜻한다는 것을 s-평면에서 읽는다.
1890년대 교류 송전이 퍼지자 엔지니어들은 곤란해졌습니다. 저항·코일·콘덴서가 섞인 회로에 사인파 전압을 걸면 전류는 미분방정식의 해로만 구할 수 있었고, 소자가 하나 늘 때마다 식은 연립 미분방정식이 되었습니다. 발전기·변압기·송전선·전동기가 얽힌 실제 전력망을 이렇게 푸는 것은 사실상 불가능했습니다.
GE의 엔지니어 찰스 스타인메츠(Charles P. Steinmetz)는 1893년 시카고 국제 전기 회의에서 발표한 것으로 알려진 논문에서, 사인파를 복소수 하나로 나타내면 미분이 곱셈으로 바뀐다는 사실을 이용해 교류 계산을 대수 문제로 만들었습니다. 같은 해 케널리(A. E. Kennelly)도 임피던스를 복소수로 다루는 논문을 냈습니다. 오늘날 모든 전력 계통 해석과 회로 시뮬레이터의 AC 해석이 이 방법 위에 서 있습니다.
허수가 아니라 회전 연산자
평면 위의 점 \((x, y)\)를 각도 \(\theta\)만큼 돌리는 공식은 \((x\cos\theta - y\sin\theta,\ x\sin\theta + y\cos\theta)\)입니다. 관절이 셋이면 이 식을 세 번 중첩해야 하고, 각도를 더하는 것과 좌표를 다시 계산하는 것이 따로 놉니다. "회전"을 숫자 하나로 쓰고, 회전 두 번을 곱셈 한 번으로 끝낼 수는 없을까요?
실수 직선 위에서 \(-1\)을 곱하는 것은 원점을 기준으로 180° 뒤집는 연산입니다. \(3 \to -3\), \(-2 \to 2\). 그렇다면 "두 번 하면 180°가 되는 연산", 즉 90° 회전도 수로 쓸 수 있지 않을까요? 그 연산을 \(i\)라고 부르면, 정의상 \(i\cdot i = (\text{90° 회전})^2 = \text{180° 회전} = -1\)입니다. \(i^2=-1\)은 신비한 공리가 아니라 "90°를 두 번 돌면 반대 방향"이라는 당연한 사실입니다.
그러면 일반적인 복소수 \(z = a + bi\)는 평면 위의 점(또는 원점에서 그 점까지의 화살표)입니다. 이를 복소평면(Complex Plane, Argand Diagram)이라 합니다. 1799년 베셀(Wessel)과 1806년 아르강(Argand)이 이 그림을 내놓기 전까지, 복소수는 3차방정식 근의 공식 중간에 잠깐 나타났다 사라지는 "유령"으로 취급되었습니다. "허수(imaginary)"라는 이름 자체가 데카르트가 1637년에 붙인 다소 비꼬는 표현이었습니다.
화살표로 보면 \(z\)는 두 가지 방식으로 쓸 수 있습니다. 직교 좌표 \((a, b)\), 또는 길이 \(r=|z|\)와 각도 \(\theta=\arg z\)인 극좌표입니다.
두 복소수를 곱해 보면 놀라운 일이 일어납니다. 분배법칙과 \(i^2=-1\)만 써서 전개하면
곱셈 = 회전 + 확대, 덧셈 = 평행이동
오일러 공식: 원 위를 도는 점
줄에 매단 돌을 돌릴 때, 돌의 속도는 언제나 줄(반지름)에 수직입니다. 위치 \(z\)에 대해 속도가 "\(z\)를 90° 돌린 것"이라는 말을 수식으로 쓰면 \(\dfrac{dz}{dt} = i\,z\)입니다. 실수였다면 \(\dfrac{dy}{dt}=k\,y\)의 해는 지수함수 \(e^{kt}\)입니다. 그렇다면 \(k=i\)일 때 \(e^{it}\)는 무엇일까요?
미분방정식 \(z' = iz\), \(z(0)=1\)이 말하는 것은 "현재 위치를 90° 돌린 방향으로, 현재 거리만큼의 속력으로 움직여라"입니다. 속도가 위치에 항상 수직이니 원점까지의 거리는 변하지 않고(원 운동), 속력이 1이니 시간 \(t\) 동안 호의 길이 \(t\)만큼, 즉 각도 \(t\) 라디안만큼 돕니다. 그래서
이 공식이 있으면 극좌표 표기가 지수로 바뀌고, "각도를 더한다"가 "지수를 더한다"가 됩니다: \(r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}\). 지수법칙과 회전의 합성이 같은 것이라는 뜻입니다.
지수함수의 정의 \(e^x = \lim_{n\to\infty}(1+x/n)^n\)(1장)에 \(x=i\theta\)를 넣으면 같은 결론을 그림으로 볼 수 있습니다. \(1 + i\theta/n\)은 "앞으로 1, 옆으로 \(\theta/n\)"인 아주 조금 돌아간 화살표이고, 이것을 \(n\)번 곱하는 것은 작은 회전을 \(n\)번 반복하는 것입니다.
\((1 + i\theta/n)^n\) → \(e^{i\theta}\): 작은 회전을 n번
사인파는 회전하는 화살표의 그림자
발전기 두 대의 출력 \(3\sin(\omega t)\)와 \(4\sin(\omega t + 90°)\)를 직렬로 이으면 합 전압의 진폭은 얼마일까요? 7 V? 삼각함수 합성 공식을 꺼내 \(A\sin\omega t + B\cos\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\sin(\omega t+\varphi)\)로 정리할 수도 있지만, 전압이 열 개라면 손으로 할 일이 아닙니다.
\(e^{i\omega t}\)는 단위원 위를 각속도 \(\omega\)로 도는 점입니다. 여기에 고정된 복소수 \(A e^{i\varphi}\)를 곱하면 길이 \(A\), 출발 각도 \(\varphi\)인 화살표가 같은 속도로 돕니다. 이 화살표의 세로 성분(허수부)을 시간에 따라 그리면 정확히 \(A\sin(\omega t+\varphi)\)이고, 가로 성분(실수부)은 \(A\cos(\omega t + \varphi)\)입니다. 사인파는 회전하는 화살표의 그림자입니다.
여기서 결정적인 관찰: 같은 주파수의 신호는 모두 같이 돌기 때문에, 회전 인자 \(e^{i\omega t}\)는 공통으로 빼 놓고 정지한 화살표 \(\mathbf{V} = Ae^{i\varphi}\)만 다루면 됩니다. 이것이 페이저(Phasor)입니다. 사인파 덧셈은 화살표 덧셈이 됩니다. 앞의 문제는 \(3\angle 0° + 4\angle 90° = 3 + 4i\), 크기 5, 위상 53.1°입니다. 7 V가 아닙니다.
두 페이저의 합 = 두 사인파의 합
교류 회로: 미분이 곱셈이 되는 마법
저항 \(R\), 인덕터 \(L\), 커패시터 \(C\)를 직렬로 잇고 \(v(t)=V_m\cos\omega t\)를 걸면 키르히호프 전압 법칙은 \(L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i + \dfrac{1}{C}\displaystyle\int i\,dt = v(t)\)입니다. 적분-미분방정식이고, 정상상태 해를 구하려면 \(i = a\cos\omega t + b\sin\omega t\)를 대입해 계수를 비교하는 노동을 해야 합니다. 노드가 수백 개인 송전망에서는 불가능한 방법입니다.
스타인메츠의 아이디어는 이렇습니다. 전류를 \(i(t) = \operatorname{Re}[\mathbf{I}e^{j\omega t}]\)로 쓰면, 미분은 회전하는 화살표의 속도입니다. 원 운동의 속도는 위치를 90° 돌리고 \(\omega\)배 한 것이므로(2절의 \(z'=iz\)),
그러면 각 소자의 전압-전류 관계가 모두 "전압 = (복소수) × 전류" 꼴, 즉 복소수 옴의 법칙이 됩니다. 그 복소수를 임피던스(Impedance) \(Z\)라 합니다.
| 소자 | 시간 영역 | 페이저 영역 | 임피던스 Z | 전압 vs 전류 |
|---|---|---|---|---|
| 저항 R | \(v = Ri\) | \(\mathbf{V}=R\,\mathbf{I}\) | \(R\) | 같은 위상 |
| 인덕터 L | \(v = L\,di/dt\) | \(\mathbf{V}=j\omega L\,\mathbf{I}\) | \(j\omega L\) | 전압이 90° 앞섬 |
| 커패시터 C | \(i = C\,dv/dt\) | \(\mathbf{V}=\dfrac{1}{j\omega C}\mathbf{I}\) | \(\dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}\) | 전압이 90° 뒤짐 |
이제 RLC 회로의 전류는 나눗셈 한 번입니다: \(\mathbf{I} = \mathbf{V}/Z\). 구체적인 수로 해 봅시다. \(R=20\ \Omega\), \(L=50\) mH, \(C=20\ \mu\)F, \(f=100\) Hz이면 \(\omega L = 31.4\ \Omega\), \(1/\omega C = 79.6\ \Omega\)이므로 \(Z = 20 - j48.2\ \Omega\), \(|Z| = 52.1\ \Omega\), \(\varphi = -67.4°\)입니다. 10 V를 걸면 전류는 0.192 A이고, 커패시터 쪽이 우세해서 전류가 전압보다 67.4° 앞섭니다. 미분방정식은 한 줄도 풀지 않았습니다.
\(\omega L = 1/(\omega C)\)가 되는 주파수에서는 인덕터와 커패시터의 리액턴스가 정확히 상쇄되어 \(Z = R\)(최소), 위상차 0, 전류 최대가 됩니다. 이것이 공진(Resonance)입니다.
RLC 직렬 회로의 페이저 다이어그램과 공진
역률: 전력회사가 복소수를 청구하는 이유
공장 A와 B는 둘 다 정확히 100 kW의 일을 합니다. 그런데 모터가 많은 공장 A의 인입선에는 전류가 40% 넘게 더 흐르고, 변압기가 더 뜨겁습니다. 한국전력을 비롯한 전력회사들은 이런 수용가에 요금을 더 물리는 제도를 두고 있습니다. 무엇이 다른 걸까요?
전압 페이저 \(\mathbf{V}\)와 전류 페이저 \(\mathbf{I}\) 사이에 각도 \(\varphi\)가 있으면, 순간 전력 \(p(t)=v(t)i(t)\)는 한 주기 중 일부 구간에서 음수가 됩니다. 인덕터의 자기장과 커패시터의 전기장에 잠시 저장된 에너지가 반 주기마다 전원으로 되돌아가는 것입니다. 이 에너지는 일을 하지 않으면서 전선을 왕복하며 \(I^2R\) 손실만 만듭니다. 복소수로 쓰면 이 상황이 깔끔하게 정리됩니다.
공장의 역률 보상: P, Q, S 삼각형
박막 간섭: 반사 방지 코팅은 페이저 덧셈이다
공기(n = 1)에서 유리(n ≈ 1.52)로 수직 입사하는 빛은 경계면마다 약 4.3%가 반사됩니다. 안경알은 앞뒤 두 면이니 8% 넘게, 렌즈 열 장짜리 카메라 렌즈는 표면 20개에서 반사가 쌓여 빛을 절반 가까이 잃고, 반사광이 렌즈 안을 맴돌며 플레어와 고스트를 만듭니다. 실리콘 이미지 센서는 더 심합니다. 실리콘 굴절률이 가시광에서 약 4라서 맨 표면은 30% 넘게 반사합니다. 반사를 "없애는" 물질은 없는데, 어떻게 줄일까요?
답은 반사를 하나 더 만드는 것입니다. 표면에 얇은 막을 입히면 반사가 막의 윗면과 아랫면 두 곳에서 일어납니다. 두 반사파는 같은 주파수의 빛이므로 각각 페이저이고, 관측되는 반사는 두 화살표의 합입니다. 아랫면 반사파는 막을 왕복하는 동안 위상이 \(2\delta\)만큼 더 돌아갑니다. 두 화살표의 길이가 같고 서로 반대 방향이면 합은 0, 반사가 사라집니다.
수직 입사에서 경계면 반사 계수(진폭)는 \(r = (n_a - n_b)/(n_a + n_b)\)이고, 막 안에서의 한 번 통과 위상은 \(\delta = 2\pi n_c d/\lambda\)입니다. 막 안에서 여러 번 튕기는 반사까지 모두 더하면(등비급수) 정확한 결과가 나옵니다.
완전 상쇄 조건은 두 가지입니다. 위상 조건: \(2\delta=\pi\), 즉 \(d = \lambda/(4n_c)\)(막 안 파장의 1/4, "1/4파장 코팅"). 크기 조건: \(|r_{01}|=|r_{12}|\), 정리하면 \(n_c = \sqrt{n_0 n_s} = \sqrt{n_s}\). 이때 반사율은 \(R = \left(\dfrac{n_s - n_c^2}{n_s + n_c^2}\right)^2\)입니다.
| 상황 | n_s | 이상적 n_c = √n_s | 실제로 쓰는 막 | 550 nm 반사율 |
|---|---|---|---|---|
| 맨 유리 | 1.52 | — | 없음 | 4.3% |
| 유리 + MgF₂ 1/4파장 (99.6 nm) | 1.52 | 1.23 | MgF₂ n ≈ 1.38 | 1.3% |
| 맨 실리콘 (흡수 무시 근사) | ≈ 4 | — | 없음 | 36% |
| 실리콘 + 질화막 1/4파장 | ≈ 4 | 2.0 | SiN n ≈ 2.0 | ≈ 0% |
유리에 꼭 맞는 n ≈ 1.23의 단단한 물질은 흔치 않아서, 단층 MgF₂ 코팅은 1.3% 정도가 한계입니다. 그래서 카메라 렌즈와 고급 안경은 굴절률이 다른 막을 여러 층 쌓은 다층 코팅으로 여러 화살표를 넓은 파장에서 닫힌 다각형이 되게 맞춥니다(층마다 전달 행렬을 곱하는 계산, 3장). 반대로 실리콘에는 n ≈ 2인 질화 실리콘이 거의 이상적이라, 태양전지와 이미지 센서 포토다이오드 위의 패시베이션·반사 방지막에 질화막·산화막 조합이 널리 쓰입니다.
반사 방지 코팅 설계: 반사 페이저와 가시광 스펙트럼
스마트폰은 복소수를 전송한다: IQ와 QAM
무선 통신에서 주파수 대역은 가장 비싼 자원입니다. 반송파 \(\cos(2\pi f_c t)\)의 진폭만 바꿔 정보를 싣는다면 한 번에 실수 하나를 보냅니다. 그런데 반송파는 페이저, 즉 화살표입니다. 길이와 각도를 동시에 정하면 복소수 하나, 실수 두 개를 같은 대역폭에 실을 수 있습니다.
송신기는 보낼 복소수 \(I + jQ\)를 정하고 \(s(t) = \operatorname{Re}\big[(I+jQ)e^{j2\pi f_ct}\big] = I\cos(2\pi f_c t) - Q\sin(2\pi f_c t)\)를 내보냅니다. 코사인과 사인은 서로 90° 어긋나 있어(직교) 수신기가 각각을 곱하고 평균 내면 \(I\)와 \(Q\)를 분리해 낼 수 있습니다. 이것이 IQ 변조(Quadrature Modulation)입니다. 허용된 복소수 점들을 격자로 정해 두고 그중 하나를 고르는 방식이 QAM(Quadrature Amplitude Modulation), 그 점들의 그림이 성상도(Constellation)입니다. 16-QAM은 점 16개 = 심벌당 4비트, 64-QAM은 6비트, 256-QAM은 8비트입니다. LTE·5G와 Wi-Fi는 채널 상태에 따라 이 차수를 바꿔 가며 씁니다.
QAM 성상도와 잡음: 점을 촘촘히 할수록 생기는 일
판별식이 음수일 때: 복소수 근 = 감쇠 진동
질량-스프링-댐퍼, RLC 회로, 서보 모터의 위치 제어 루프는 모두 \(x'' + b\,x' + c\,x = 0\) 꼴입니다. \(x = e^{st}\)를 대입하면 특성방정식 \(s^2 + bs + c = 0\)이 나옵니다. 근의 공식에서 판별식 \(b^2 - 4c\)가 음수이면 "실근이 없다"고 배웠습니다. 그런데 서스펜션은 멀쩡히 움직입니다. 그 해는 어디에 있을까요?
판별식이 음수이면 근은 켤레 복소수 \(s = \sigma \pm j\omega_d\)입니다. 그리고 \(e^{st} = e^{\sigma t}e^{j\omega_d t}\)는 크기가 \(e^{\sigma t}\)로 변하면서 각속도 \(\omega_d\)로 도는 화살표입니다. 켤레 쌍의 합을 취하면 실수 해 \(e^{\sigma t}\cos(\omega_d t+\varphi)\), 즉 감쇠 진동이 나옵니다. "실근이 없다"는 "진동한다"의 다른 말이었습니다. 근의 실수부는 감쇠율, 허수부는 진동 주파수입니다.
s-평면의 근을 끌어 응답 바꾸기
이 관점은 2차에서 끝나지 않습니다. 대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Algebra)는 "복소수 계수의 \(n\)차 다항식은 복소수 범위에서 (중복 포함) 정확히 \(n\)개의 근을 가진다"고 말합니다(가우스가 1799년 학위 논문에서 증명을 제시한 것으로 유명합니다). 실수에서는 \(x^2+1=0\)처럼 근이 없는 경우가 있지만, 복소수로 넓히면 더 이상 새로운 수가 필요 없습니다 — 복소수는 대수적으로 닫혀 있습니다. 그래서 \(n\)차 선형 시스템의 응답은 언제나 \(n\)개의 \(e^{st}\) 모드의 합으로 쓸 수 있고, 각 모드는 s-평면 위의 점 하나로 요약됩니다. 실계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍으로 나오므로, 물리적인 실수 응답이 보장됩니다. 이 이야기는 4장(미분방정식)과 3장(고유값 = 모드)에서 이어집니다.
이 도구가 쓰이는 곳
시리즈의 다른 책들에서 복소수·페이저가 어떻게 쓰이는지 모았습니다. 각 책에서 "더 깊이" 링크를 따라오면 이 장으로 연결됩니다.
필터·증폭기의 주파수 응답, 극점과 영점, 위상 여유가 모두 \(j\omega\) 위의 복소수 계산. PHONEBOOKIQ 변조 · QAM
스마트폰 무선부는 복소 기저대역 신호를 만들고 받는다. 성상도·EVM·위상 잡음. NETWORKBOOK변조와 채널
OFDM은 부반송파마다 복소수 하나를 싣는 방식. Wi-Fi·LTE의 물리층. OPTICSBOOK파동 광학 · 박막
빛의 진폭과 위상을 복소수로. 간섭, 회절, 다층 코팅의 전달 행렬. SENSORBOOK센서 표면 반사 방지
포토다이오드 위 산화막·질화막 스택이 양자 효율을 좌우한다. CAMERABOOK렌즈 코팅과 플레어
다층 반사 방지 코팅이 고스트·플레어와 콘트라스트를 결정한다. LITHOBOOKBARC · 정재파
레지스트 안의 정재파와 하부 반사 방지막도 같은 박막 간섭 계산이다. MUSICBOOKDSP와 필터
디지털 필터의 주파수 응답은 단위원 위의 \(e^{j\omega}\)에서 계산한다. 위상과 맥놀이. CARBOOK전기차 모터 제어
3상 전류를 회전하는 복소수 벡터 하나로 다루는 공간 벡터·dq 변환.
핵심 정리
- \(i\)는 90° 회전 연산자다. \(i^2=-1\)은 "90°를 두 번 = 180° = 뒤집기"라는 뜻이다. 복소수는 평면 위의 화살표다.
- 복소수 곱셈은 크기는 곱하고 각도는 더하는 회전+확대, 덧셈은 평행이동이다. 삼각함수 덧셈정리는 복소수 곱셈의 다른 표기다.
- 오일러 공식 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\): 지수법칙과 회전의 합성이 같다. \(e^{i\omega t}\)는 각속도 \(\omega\)로 도는 점이고, 사인파는 그 그림자다.
- 같은 주파수의 사인파는 정지한 화살표(페이저)로 요약되고, 사인파 덧셈은 화살표 덧셈이 된다.
- 페이저 영역에서 \(d/dt \to j\omega\). R, \(j\omega L\), \(1/(j\omega C)\)의 임피던스로 교류 회로가 복소수 옴의 법칙이 되고, \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\)에서 리액턴스가 상쇄되어 공진한다.
- 복소 전력 \(\mathbf S=\mathbf V\mathbf I^*=P+jQ\). 역률 \(\cos\varphi\)가 낮으면 같은 일에 더 큰 전류(손실 ∝ \(1/\cos^2\varphi\))가 필요해서, 콘덴서로 \(Q\)를 상쇄한다.
- 박막의 반사는 두 페이저 \(r_{01}+r_{12}e^{-2i\delta}\)의 합이다. 단층 반사 방지 조건은 \(n_c=\sqrt{n_s}\), \(d=\lambda/(4n_c)\).
- 무선 통신은 \(I+jQ\)를 반송파에 실어 복소수를 전송한다(QAM). 특성방정식의 복소수 근 \(\sigma\pm j\omega_d\)는 감쇠 진동을 뜻하며, 대수학의 기본정리로 복소수 안에서 모든 다항식은 근을 가진다.
확인 퀴즈
\(z = 2\angle 30°\), \(w = 3\angle 45°\)일 때 \(z\cdot w\)는?
어떤 복소수에 \(i\)를 연속으로 세 번 곱한 결과는 원래 수를 몇 도 돌린 것과 같은가?
교류 주파수를 두 배로 올리면 커패시터 임피던스의 크기 \(|1/(j\omega C)|\)는?
RLC 직렬 회로를 공진 주파수 \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})\)로 구동할 때 옳은 것은?
100 kW를 쓰는 공장의 역률을 0.7에서 1.0으로 개선하면 같은 선로의 저항 손실은 대략 어떻게 되나?
유리(n = 1.52) 위 단층 반사 방지 코팅의 이상적인 굴절률과 550 nm 기준 두께는?
특성방정식의 근이 \(s=-1\pm 3j\)인 2차 시스템의 자유 응답은?